Analysis of Rare Events in Reliability Analysis of Nuclear

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Man berechne das Integral Za dx , x (a > 1), 1 mittels Riemannscher Summen. (Anleitung: Man w¨ahle folgende Unterteilung: 1 = x0 < x1 < . . < xn = a, wobei xk := ak/n f¨ur k ∈ {0, . . , n}. Als St¨utzstellen w¨ahle man ξk := xk−1 f¨ur alle k ∈ {1, . . ) Aufgabe 18 C. Man berechne das Integral Za log x dx, (a > 1), 1 mittels Riemannscher Summen. ) § 18 Das Riemannsche Integral 39 b) Man bestimme den (exakten) Wert von lim an f¨ur a = e1/e und eine n→∞ numerische N¨aherung (mit einer Genauigkeit von 10−6 ) von lim an f¨ur n→∞ a = 65 .

Man zeige, dass 1h streng monoton f¨allt (bzw. w¨achst). Aufgabe 12 B. Man zeige: Die Funktion R −→ R, x −→ ax ist f¨ur a > 1 streng monoton wachsend und f¨ur 0 < a < 1 streng monoton fallend. In beiden F¨allen wird R bijektiv auf R∗+ abgebildet. Die Umkehrfunktion a log : R∗+ −→ R (Logarithmus zur Basis a) ist stetig und es gilt a log x = log x log a f¨ur alle x ∈ R∗+ . Aufgabe 12 C*. Man zeige: Die Funktion sinh bildet R bijektiv auf R ab; die Funktion cosh bildet R+ bijektiv auf [1, ∞[ ab. F¨ur die Umkehrfunktionen Ar sinh : R −→ R (Area sinus hyperbolici), Ar cosh : [1, ∞[−→ R (Area cosinus hyperbolici) 26 Aufgaben b) Man zeige, dass die Gleichung √ 1 = x 1 + x2 eine L¨osung x0 ∈ R+ besitzt.

18 Das Riemannsche Integral Aufgabe 18 A*. Man berechne das Integral Za xk dx, (k ∈ N, a ∈ R∗+ ), 0 mittels Riemannscher Summen. Dabei benutze man eine a¨ quidistante Teilung des Intervalls [0, a]. Aufgabe 18 B*. Man berechne das Integral Za dx , x (a > 1), 1 mittels Riemannscher Summen. (Anleitung: Man w¨ahle folgende Unterteilung: 1 = x0 < x1 < . . < xn = a, wobei xk := ak/n f¨ur k ∈ {0, . . , n}. Als St¨utzstellen w¨ahle man ξk := xk−1 f¨ur alle k ∈ {1, . . ) Aufgabe 18 C. Man berechne das Integral Za log x dx, (a > 1), 1 mittels Riemannscher Summen.

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